摘 要：在GPS定位與導航中，用戶可以通過選擇至少4顆可見衛星的觀測，得到測站位置和站鐘差信息，衛星相對于測站的幾何關系直接影響到定位和導航的精度�？紤]用4顆偽衛星進行定位，在Parkinson等人工作的基礎上對四面體的性質進行深入討論，推導出4顆偽衛星構成四面體體積的計算公式,在當前以及將來有一定的現實意義。
關鍵詞：GPS；偽衛星； GDOP
The Geometry Optimization for the Orientation of Four Pseudolites
Xu Lin Peng Ruixue
(1.Department of Information Equipment, The Academy of Equipment Command and Technology, Beijing 101416, China 2.Institute of Postgruduate, The Academy of Equipment Command and Technology, Beijing 101416, China)
Abstract：At the orientation and navigation of GPS,the user can select four satellites in sight to observe the position and the clock difference at least. The geometry relationship of the satellites impacts the precision of orientation and navigation.Considered using four satellites in positioning system,based on work of Parkinson,the paper probes into the character of four sides body,and educes the computing formula of four sides body formed by four pseudolites,which is real meaning currently and in the near future.
Keywords: GPS；Pseudolites；GDOP
1引言
作為現代空間導航系統，GPS已經引起各國的國防和民用部門的極大關注。在GPS導航和定位中，它的定位精度一直是我們關注的重點，主要與兩個因素有關：(1)測站GPS接收機的精度，即觀測標準差；(2)相對測站而言，衛星的幾何構型。即  ，其中 為用戶的位置解算誤差， 是偽距測量誤差， 表示幾何精度因子。與用戶和定位衛星間的相對幾何關系有關。這意味著實際上就是誤差幾何放大因子，對定位和鐘差精度有著重要的影響。要獲得最好的定位精度，參與定位的衛星應具有最小的。由于偽衛星與用戶之間的距離遠遠小于衛星與用戶的距離，因而偽衛星增強系統的幾何布局對系統性能的影響也要嚴重得多。而另一方面，利用偽衛星設置靈活的特點，可以將偽衛星設置在幾何布局最佳的位置上，從而提高整個定位系統的性能。因此深入研究偽衛星增強系統的幾何布局是非常重要和必要的。通常，用戶可以通過至少4顆可見衛星得到測站位置和鐘差信息。在可觀測衛星中，所選衛星的幾何關系直接影響到定位或導航精度，導航精度與觀測星座幾何精度因子有關。同樣，如果在峽谷、室內和地下等比較苛刻的觀測環境下，可視衛星的數量和幾何布局就不能滿足定位操作的需求，這時可以通過加入偽衛星來解決。
在GPS發展的早期，為了驗證接收機而使用了四個地面發射機提供模擬GPS信號，這就是偽衛星的雛形。它在Ll頻率發送偽衛星所在地的固定坐標。與GPS類似，歐空局發展的新的全球導航衛星系統——GALILEO系統也使用偽衛星驗證頻率分配與用戶設備。在偽衛星定位中選擇最佳的4顆偽衛星進行觀測，討論它們的位置、偽衛星基站構成的四面體體積和GDOP值的關系在目前及今后都有非常重要的意義。
2概述
所謂偽衛星（Pseudolite）就是地基發射站，其發射類似北斗的信號，用該信號來增強和提高衛星定位系統的定位精度、完備性和有效性。偽衛星發射的信號類似于GPS信號，具有測距的功能：偽衛星能夠提升整個系統的可用性、穩定性、可靠性以及測量精度，甚至在室內、地下等無法接收到GPS衛星信號的場合下能完全替代GPS衛星。偽衛星基本方程與GPS的方程相同。偽衛星最早是指在地面上對處于研制階段的GPS定位系統進行驗證和試驗的裝置，Pseudolite一詞來源于Pseudo-Satellite。在發射GPS衛星前，研制人員就在地面利用偽衛星裝置，采用與GPS衛星結構完全相同的信號進行了試驗。由于偽衛星裝置類似于位置可以靈活放置的模擬GPS衛星，因此對于在衛星數過少，信號遮擋嚴重，低仰角等不利觀測條件下可以通過改善GPS衛星星座結構，較好的改善GPS衛星定位精度。
3四面體法原理
如圖1所示，設4顆偽衛星A、B、O、C相對測站P構成位置單位向量 、 、 、 ，衛星A、O間的向量為 ，B、O間的向量為 ，C、O間的向量為 ，令衛星位置相對于測站的方向矢量在測站坐標系中的坐標分布為A ，B ，C ，O ，則可以得到4顆衛星所構成的四面體的體積為[2]：
 （1）
利用行列式 的定義：
 （2）
聯合（1）和（2）式，則V與之間的關系可以寫成：
 （3）
 圖1 測站和偽衛星幾何分布圖
4 GDOP的計算
在偽衛星定位系統中通常采用幾何精度因子GDOP來估計定位誤差與選擇星座的關系�？紤]在空間直角坐標系中，接收機P接收到的k顆偽衛星，對于偽衛星偽距觀測方程,其誤差方程組寫為如下的矩陣形式[3]：
（4）
上式中：
 ；
 是在歷元t從接收機 至偽衛星 之間的方向余弦矢量；
 ； ； ； 。
兩個量之間的相關性可以分為物理相關和數學相關。例如，由兩個觀測站同步觀測一顆衛星，所得到的 和 ，由于觀測的是同一顆衛星，所以它們在物理上是相關的；但相反的是，通常認為它們在數學上式不相關的，即上述觀測量是相互獨立的。同時假設，獨立觀測量的誤差服從正態分布，其數學期望為零，方差為 。一般都是設觀測值權陣為P=I，其協因數陣Q=P-1。
于是，由最小二乘法則，有：
 （5）
其協因數陣：
 （6）
其矩陣形式一般為：
 （7）
那么，所有未知參數解的精度為：
 （8）
不難看出， 中的元素 包含了所有未知數的精度信息，也是評價定位結果的重要依據。由這個思路推廣開來，衛星定位時常采用精度因子（Dilution of Precision,簡稱DOP）的概念來反映GPS定位中點位精度隨衛星星座位置不同的變化情況。主要有水平方向精度因子（HDOP），垂直方向精度因子（VDOP）以及幾何精度因子（GDOP）。
u 平面位置精度因子HDOP
 （9）
u 高度精度因子VDOP
 （10）
u 幾何精度因子GDOP(Geometric Dilution of Precision)
 （11）
u 幾何精度因子GDOP（Geometric Dilution of Precision）
它是描述空間位置誤差和時間誤差綜合影響的精度因子。
 （12）
在定位解算的過程中通過對這些精度因子的計算，其結果顯示了這些精度因子的大小與定位衛星所圍成的幾何圖形的大小成反比[4]。若用4顆偽衛星進行定位時，為了得到最小的精度因子，應該在配置它們的位置時，使得它們所構成的幾何圖形達到最大，換句話說幾何精度因子GDOP與被觀測偽衛星所構成的四面體體積V成反比：
GDOP   (13)
5 優化幾何法的計算
由于GDOP是一個與坐標系統取無關的指標，所以可以將其中一個衛星的方向與直角坐標系統的X方向一致，并使另一個衛星的Z坐標為零，如圖2所示，即： ，則矩陣 為：
= （14）
從數學的角度， 可以通過它的伴隨陣與行列式的商得到，則（12）式的 可表達為：
 （15）
由（14）式得：
 （16）
為了求得最優化GDOP，可以引進參數 構成拉格朗日函數，
 (17)
方程（17）對i求偏導并令其為0，可以得到：
 （18）
其中， ， 為相對于i的行列式；
 時， 
 時， 
 時， 
從通式（18）中消除參數，可產生新的方程如下：
 （19）
 （20）
根據條件， ，就可以得到矩陣為
 （21）
這樣， ，也就是它們的夾角為109°47，相應的最優GDOP值為：
GDOP= =1.5811 （22）
相應的，4顆偽衛星組成的最大體積為0.5132。
6結論
考慮從4顆偽衛星進行觀測，對其幾何構型與GDOP值關系的討論在目前有一定現實意義[5]。本文在Parkinson等人工作的基礎上對四面體的性質進行了深入討論，對Kihara等的體積計算公式中不合理的部分進行了改進，結果表明本文的體積計算公式更合理、更適用。
參考文獻
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