其中， 為含噪信號， 為有用信號， 為噪聲信號。這里認為是一個1級高斯白噪聲，通常表現為高頻信號，而實際工程中統稱為低頻信號或者是一些比較平穩的信號，因此可按如下的方法進行降噪處理。

一般而言，一維信號降噪的過程，可分為如下的三個步驟：

(1)信號的小波分解，選擇一個小波并確定分解的層數，然后進行分解計算。

(2)小波分解高頻系數的閾值量化。對各個分解尺度下的高頻系數選擇一個閾值進行軟閾值量化處理。

(3)一維小波重構，根據小波分解的底層低頻系數和各層高頻系數進行一維小波重構。

這三個步驟中，最關鍵的是如何選擇閾值及如何進行閾值量化，在某種程度上，它關系到信號降噪的質量。

2.2.2  連續和離散小波

小波函數 和它的傅氏變換 就同時在頻域和時域具有局部性，因而特別適合用來分解函數和作時域分析。

小波的概念如下：對于函數滿足 ，稱 為以 為尺度因子的伸縮函數，則函數（時間序列) 在尺度上的小波變換為：

 。       (3)

上面是小波變換的連續定義，而實際處理中所遇到的都是通過采樣后得好的離散信號，這樣定義中的何都必須離散化。作為一種方便的形式，就是對頻域進行二進制離散。經這種離散化的小波變換稱為二進小波變換，其形式是：

         (4)

輸入信號都是在一定分辨率下測取的，因此在進行信號的小波變換時，不能在 從 到 的所有尺度上進行計算，而只能將尺度 限制在原始信號的分辨率所規定的尺度和一個有限大的尺度之間。

2.2.3多分辨率思想和Mallat算法

本文采用的多分辨率的Mallat算法對諧波進行分析。多尺度(即多分辨率)的思想是指隨著尺度由大到小的變化，在各尺度上可以由粗及精的觀察目標。假定原信號 有 個非零樣本值。離散二進小波變換及重構的計算程序為：

分解：         (5)

 ；      (6) 

重構： (7)

稱 為尺度。將尺度空間分解下去，可到任意尺度空間中分解和重構過程。

圖1  分解快速算法示意圖

由圖1可見多分辨率分析實際上是將信號分解為低頻成分和高頻成分，再將其低頻成分進一步分解，如此一步步地迭代下去，得到信號越來越精細的時頻描述。

3  電力系統諧波檢測的設計方法及參數選擇

本文提出了在所采用的諧波檢測的分析方法：將傅里葉變換和小波變換結合起來使用。小波變換能很好的提取信號的暫態分量，FFT算法以頻點的方式處理頻域信息，這兩種算法在分析諧波中的各自的優勢和適用性。因此，對于諧波檢測方法的來具體分析小波變換和傅里葉變換相結合的檢測方案。

具體方案如下：對信號進行二進小波變換將信號分為高頻和低頻部分，二進小波對時域上的平移參量保持連續變化，可以對非穩態諧波和瞬態分量進行分析，對于低頻的穩態信號采用傅里葉變換分析，對各次諧波進行計算，得到所需諧波各參數。算法框圖如圖：

圖2  諧波檢測算法框圖

這樣做可以提高了頻域分析的精確度，同時，滿足了測量各次諧波含有率標準的要求。

Daubechies4小波在時域和頻域具有良好的局域性，且對不規則信號較為敏感，檢測結果還可具有平移不變性，并有成熟的快速算法。所以用db4小波對信號進行多分辨率分析。

設采樣頻率為 ，基頻為 ，頻帶的劃分數目可由下式取整數求得：

        (8)

上式中,, 帶入到上式中得 ，即對頻帶分解的層數為4。

4         諧波仿真實例

4.1  噪聲處理

由于電力系統諧波受到傳感器和配電系統產生等儀器產生的高頻噪聲影響，因此，諧波信號在用來分析之前必須要經過一個預處理過程即降噪。本文采用基于樣本估計的閾值的選取^[5]，基于Stein無偏似然估計(SURE)的軟閾值估計，長度對數閾值(sqtwolong)，啟發式SURE閾值(heursure),最小值大方差閾值(minimaxi)這四種方法來比較降噪效果。

這里把某電力系統諧波信號的模擬信號加入標準高斯白噪聲后進行降噪處理，模擬信號的函數式為： 上式中：     用基于樣本估計的閾值四種方法來比較，如圖4所示。引入信噪比 和均方差 對降噪效果進行評價：

    （9）

       （10）

式中， 為不含噪聲的仿真信號的采樣值， 為降噪處理后的信號在時刻的值；  為信號長度。越大、越小降噪效果越好。評價結果如表1所示。

表1.測試信號的降噪效果比較圖表

從表1中，可以看到，以上的四種閾值降噪規則中，最小值大方差閾值規則的信噪比最大，并且其標準差最小，故降噪效果最好。故選擇使用minimaxi閾值降噪后的信號作為預處理后的信號來進一步進行仿真分析。

                      圖3 原信號與加噪信號

圖4 四種不同閾值規則降噪效果比較

4.2 小波變換和FFT結合方法的仿真分析

將采集到的數據進行處理，先通過二進小波分離出低頻信號和高頻信號，低頻信號用FFT算法來得到各次諧波參數，對于高頻信號，分析時域特性。具體程序流程圖如下:

圖5 數據處理程序流程圖

假設電量信號為：     其中，設基波頻率 （我國電網額定頻率為50Hz允許電網頻率的波動范圍是49.5-50.1）。

根據圖5的流程，得到以下各圖：

圖6 原信號及去噪后信號

由圖6中可以看到，在原信號中加入標準高斯噪聲后，信號變形，經minimaxi閾值規則自動降噪后，去噪后的信號同原始信號有較好的相似度，降噪效果比較明顯。如果有未知高次諧波，也可以在降噪的時候去除，避免對小波分析過程中較大的影響。

 圖7 經小波變換后的低頻和高頻分量

圖8  FFT變換后的幅頻特性

利用FFT算法的優點，可以準確得到信號的幅頻特性，由圖中可以看出，變換后得到的頻率和幅值都和原信號的頻率和幅值大致相同，證明了FFT算法在頻域分析中的優越性。

  圖9 用小波分解后得到的各層細節信號

在圖9中可以看到，在t=129時，波形有明顯的跳變，說明有突變的信號。這與原信號假設的突變信號相一致,這就體現了小波分析方法在檢測突變信號或者頻率躍變方面的優越性。。

5.結論

通過對所提出的小波變換和傅立葉變換相結合的算法進行MATLAB仿真得到的結果可以看出，原始信號經小波降噪的預處理后，較好地濾除了電力系統內部或者傳感器采集數據時可能存在的噪聲，經小波分解后，分為暫態和穩態部分，用FFT變換對穩態部分進行各次諧波的分析，得到各次諧波的電力參數，再由小波變換對高頻部分進行分析，得到其瞬間特性，并用這種方法進行了仿真分析，證明了用小波分析和FFT相結合的算法對于獲得諧波時域和頻域的完整信息有較大優勢。

參考文獻

[1].  張一中,寧元中,宋永華,朱光永.電力諧波.成都:成都科技大學出版社,1992.

[2].  劉惠萍.基于小波變換電力系統諧波檢測分析與應用研究[D].青島:山東科技大學電力電子與傳動,2007.