1 引言

對于水聲通信而言，在足夠的帶寬情況下，許多淺海表面散射信道（Shallow-water surface scattered channels）具有稀疏結構^[1]，其多徑結構是可以分辨的�；�于

OFDM的水聲通信建模為超寬帶通信^[2]，因此信道同樣具有稀疏特性。因此，

利用信道時域沖擊響應的稀疏特性，可以有效改進現有的基于OFDM的水聲通

信信道估計和補償算法^[3] 稀疏信道估計與均衡中的重要一類是基于通過選擇最

重要的信道沖擊響應的抽頭(Tap)，從本質上尋找信號的最低維的表示問題，即

以主要的信道沖擊響應的抽頭的幅度和時延代替整個信道，以此來對接收信號

進行降噪，節約訓練碼（單載波）或導頻（多載波）,精確的信道估計可以是

一個Lp階范數的規則化問題可以通過貪婪算法（Greedy algorithm, GA）比如匹配跟蹤(Matching pursuit, MP)^[4]及其改進型的正交匹配跟蹤(Orthogonal matching pursuit,

 OMP)進行求解^[5]。因此，嘗試將MP算法應用于多載波水聲通信進行稀疏信道估計

^[6][7]與均衡是一項非常有意義的工作。

2 匹配跟蹤技術

配跟蹤技術的理論最初是由S.Mallat和Z.Zhang于1993年提出并完善的，它是

繼傅立葉變換、Gabor變換和小波變換之后發展起來的一種非線性信號分解技術^[8]。

假定 為Hilbert空間， 為中的原子字典，對于任一 空間中的向量 ,可以通過在 中的正交投影進行線性逼近。若 ，向量可以分解為

                                                       (1)                                   

其中 為正交投影后的殘差向量。此時和 是正交的，并且滿足能量守恒：

                                                 (2)                                  

若對殘差繼續進行分解，則可以分解為一系列原子向量加權和的形式。在分解的過程中，的選擇是至關重要的，若每次都選擇最匹配的，在原子字典很大時，其運算量是非常巨大的。MP算法為了實現這一目的，采用了貪婪算法進行簡化，即每次都選擇次最優的原子，以滿足下式成立

                                                  (3)                                

其中 ，稱為最優化因子。

基本的匹配跟蹤：追蹤法通過對殘差的進一步分解而迭代這一過程。令 是對進行第n次分解后的殘差，則下一步的迭代是通過選擇 使其滿足下式

                                       (4)                                 

將投影到 上得，

                                              (5)                                

由 和的正交性可得

                                        (6)                                 

若對前n+1次分解進行求和可得：

當n趨于無窮時， 按指數收斂于0.

正交匹配跟蹤：從基本的匹配跟蹤法可以看出，第n+1次挑選出的向量 并非正交于前面已經挑選出的集合 。當減去其在上的投影時，該算法在 所張成的子空間中引入新的成分，這一問題可以引入Gram-Schmidt正交化來進行解決，即正交匹配跟蹤算法，其迭代過程如下。

初始化 ，對于 ，正交匹配跟蹤算法挑選，對其進行Gram-Schmidt正交化：

將于想投影到 上，得到

對式求和可得

從而獲得了的分解。

從兩種匹配跟蹤的遞推過程可以看出，在迭代的前幾次，MP常常挑出近似正交的向量，因此Gram-Schmidt正交化并不是必須的，OMP和MP的收斂速度幾乎相同。隨著迭代次數的增加，由于MP每次都選擇正交向量，OMP的殘差向量的范數將比MP算法下降更快

3 OFDM系統模型及其信道估計

基于OFDM的水聲通信系統框圖如下圖所示。設OFDM符號的頻域表示為 ，其中 ，表示第 個子信道上的數據。在發送端對進行IFFT變換，插入循環前綴，形成時域信號，進入水聲信道進行傳送。在接收端進行相反操

作。循環前綴的長度要大于信道最大時延擴展長度，以保證信號與信道沖擊響

應函數的線性卷積可以轉化為循環卷積。假設在一個OFDM符號周期內，信道頻

域響應函數不變， ，在接收端進行FFT變換后的信號為 ，其中，在下面基于導頻的信道估計過程中，假設循環前綴CP長度大于信道最大時延擴展，并且假定系統同步。

圖1 OFDM通信系統框圖

本文主要研究LS基礎之上的稀疏信道估計與均衡技術。

假定 為接收處的噪聲分量， 為頻域傳遞響應， ，寫成矩陣形式：

其中 為為傅立葉變換矩陣。LS的代價函數為

令 ，從而可以得到 的LS估計為(對時域沖擊響應進行了補零)

為了降低噪聲對LS估計性能的影響，在假設信道沖激響應不會大于循環前綴的情況下得到了改進的LS（Modified LS， MLS）：

式中 為選擇矩陣。

4 稀疏信道估計

如果信道是稀疏的，信道的長度信息和抽頭位置信息將會有助于改進信道估計的性能。本文嘗試應用GAIC準則進行信道長度和位置的估計，通過采用匹配跟蹤的方法一次消除估計出的時域抽頭，從而可以獲得抽頭的位置。根據廣義Akaike信息論準則，GAIC代價函數為

式中 是用戶定義的參數，可以在1.5～2.5之間取值，仿真結果表明的取值的取值對性能的影響并不大，因此本文后面的仿真中取其為2；L為假定的信道沖擊響應長度；N為所有的子載波數； 是接收向量 的對數似然比

K是依賴于N的常數， 的估計值是 。 的求解方法如下：

由于在迭代的過程中，僅需要每次比較的相對大小，因此將的簡化

應用GAIC準則進行信道長度和位置的估計的迭代過程如下：

第一步：初始化 

第二步：計算 的代價函數

第三步：估計出抽頭位置為 去除第三步估計出的抽頭位置的影響，即 ，并且更新， 。第四步：令 ，當等于1時，跟蹤結束，否則返回第二步。

估計出抽頭位置后，則可以根據抽頭位置進行信道沖擊響應的在估計，假定 為選擇矩陣，其選擇與 組陳的集合相對應的傅立葉變換矩陣的列。即

從而可以獲得 的最小二乘估計為

5 性能分析

為了驗證上述算法在多載波水聲通信中的性能，基于Matlab進行仿真，并與現有的最小二乘法和改進的最小二乘法進行了仿真研究，分寫從誤碼率和最小均方誤差兩個角度，并與確知信道進行比較^[9]。仿真的參數如下所示，

表 1系統仿真參數

仿真結果,

圖 2水聲信道特征聲線局部顯示圖      

                   圖 3模擬的水聲信道沖激響應圖

圖 4不同信道估計方法的誤碼率曲線                     圖 5不同信道估計算法的均方誤差

6 結論

通過仿真可以看出，采用MP算法在誤碼率上的增益將近0.7dB，并且更加逼近信道確知時的誤碼率曲線。需要指出的是，由于采用了MP算法，帶來了信道估計復雜度的增加，但是隨著先進的數字信號處理器的發展，MP算法將會有很好的應用前景。

參考文獻

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[9] GELLER B,CAPELLANO V,BROSSIER J. Equalizer for Video Rate Transmission in Multipath Underwater Communications[J].IEEE Journal of Oceanic Engineering, 1996,21(2):150-156.

作者簡介：

王中訓（1965－），男，教授，博士研究生，主要從事方向為雷達檢測及水下通信。

楊日杰（1963－），男，教授，博士生導師，主要從事研究方向為數字信號處理和信息編碼理論。

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